Nationaal Wiskunde Symposium 2026: Fun with Functors

Categorieëntheorie is oorspronkelijk bedacht door Eilenberg en MacLane in de context van hun werk in de algebraische topologie, als een systematische manier om wiskundige objecten van een heel verschillende soort met elkaar te verbinden, in hun geval vooral topologische ruimten enerzijds en groepen en ringen anderzijds. Deze manier van bechrijven van verbanden wordt inmiddels overal in de wiskunde gebruikt. Naast deze vorm van categorieëntheorie als een soort organiserend principe blijken categorieën ook nog op een andere manier voor te komen: sommige wiskundige objecten (bijvoorbeeld groepen, partiele ordeningen) zijn zélf categorieën. In deze inleidende voordracht zal ik enkele aspecten bespreken van deze twee incarnaties van het begrip categorie.

We zullen bespreken hoe aan elke categorie C een topologische ruimte kan worden toegekend, de zogeheten “classifying space” BC. Interessante speciale voorbeelden zijn de classifying spaces van groepen, waarvan we een aantal voorbeelden bekijken. De constructie van BC geeft een familie van ruimten die interessant zijn in de topologie; andersom geven eigenschappen van de ruimte BC interessante informatie over de oorspronkelijke categorie C.

Alle constructies uit de logica en verzamelingenleer zijn in categorietheoretische termen te formuleren. De voordracht zal dit duidelijk maken aan de hand van de definitie van een belangrijk type categorieën: topossen.

Zoals jullie in het vorige praatje gezien hebben, kun je een topos zien als een alternatief wiskundig universum waarin andere principes gelden dan in het standaarduniversum. Zo zijn er topossen waarin elke functie continu, oneindig vaak differentieerbaar (“glad”) of berekenbaar is.
In dit praatje wil ik ingaan op werelden waarin elke functie glad is. In deze werelden gelden de axioma’s van een theorie die we “synthetische differentiaalmeetkunde” noemen, een axiomatische theorie voor varieteiten. Dergelijke theorieen gaan terug op ideeen van Bill Lawvere, die geinspireerd werd door het werk van Alexandre Grothendieck in de algebraische meetkunde.

In this talk, I will give an introduction to the theory of monoidal categories, which are categories equipped with an abstract notion of “tensor product”. Examples of monoidal categories abound in nature, such as the category of vector spaces with the usual tensor product or the category of sets with the usual cartesian product.
This talk will also be the occasion of introducing two important concepts of category theory: internalisation and categorification.